20140716-广发证券-期权笔记系列之二_期权定价树状模型_20页_1mb

期权定价树状模型总结

核心内容

期权定价树状模型是一种离散模型，通过构建标的资产价格的树状结构，结合无套利原理反向计算期权价格，最终得到初始时刻的权利金。该模型分为一般树状模型和隐含波动率树状模型两大类。

一般树状模型

一般树状模型假设标的资产价格在每个时间区间内以固定的概率上升或下降，并通过选择不同的参数来改进模型的收敛性和准确性。

1. CRR二叉树模型

• 特点：简单、易理解。
• 缺点：收敛过程中波动大，因为到期收益在行权价处不连续。
• 公式：
  看涨期权：
  $$
  C = e^{-rT} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} p^i (1 - p)^{n - i} \max(Su^i d^{n - i} - K, 0)
  $$
  看跌期权：
  $$
  P = e^{-rT} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} p^i (1 - p)^{n - i} \max(K - Su^i d^{n - i}, 0)
  $$
  其中：
  $$
  u = e^{\sigma \sqrt{dt}}, \quad d = \frac{1}{u}, \quad p = \frac{e^{rT/n} - d}{u - d}
  $$

2. Leisen-Reimer（LR）二叉树模型

• 特点：只取奇数划分，确保到期价格不包括行权价，收敛更光滑且速度快。
• 公式：
  $$
  p = g(d_2), \quad u = \frac{e^{rT/n} g(d_1)}{g(d_2)}, \quad d = \frac{e^{rT/n} - p u}{1 - p}
  $$
  其中：
  $$
  d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}
  $$
  $$
  g(z) = \frac{1}{2} + \frac{\eta}{2} \sqrt{1 - \exp\left[-\left(\frac{z}{n + \frac{1}{3}}\right)^2(n + \frac{1}{6})\right]}
  $$

3. Edgeworth（EW）二叉树模型

• 特点：考虑偏度和峰度，使得模型更贴近实际资产分布。
• 公式：
  $$
  f_j = \left[ 1 + \frac{1}{6} \xi(y_j^3 - 3y_j) + \frac{1}{24}(\kappa - 3)(y_j^4 - 6y_j^2 + 3) + \frac{1}{72}\xi^2(y_j^5 - 10y_j^3 + 15y_j) \right] b_j
  $$
  $$
  b_j = \frac{(1/2)^n n!}{j!(n - j)!}
  $$
  标的资产价格：
  $$
  S_j = S e^{\mu T + \sigma \sqrt{T} x_j}
  $$
  $$
  \mu = r - \frac{1}{T} \ln\left(\sum_{j=0}^{n} P_j e^{\sigma \sqrt{T} x_j}\right)
  $$

4. Flexible（FLEX）二叉树模型

• 特点：通过调整倾斜系数 $\lambda$，使得收敛曲线更光滑。
• 公式：
  $$
  u = \exp(\sigma \sqrt{dt} + \lambda \sigma^2 dt), \quad d = \exp(-\sigma \sqrt{dt} + \lambda \sigma^2 dt)
  $$
  $$
  \lambda = \frac{\ln(K/S) - (2j_0 - n)\sigma \sqrt{dt}}{n \sigma^2 dt}, \quad j_0 = \frac{\ln(K/S) - n \ln d_0}{\ln(u_0 - d_0)}
  $$

5. 三叉树模型

• 特点：比二叉树模型更灵活，考虑标的资产价格不变的情况。
• 公式：
  $$
  p_1 u + p_2 + p_3 d = e^{r \Delta t}, \quad p_1 u^2 + p_2 + p_3 d^2 - (p_1 u + p_2 + p_3 d)^2 = e^{2r \Delta t}(e^{\sigma^2 \Delta t} - 1)
  $$
  $$
  u = e^{\lambda \sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\lambda \sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad \lambda = \sqrt{2}
  $$

6. AMM三叉树模型

• 特点：在行权价附近进行更细的划分，计算更精细准确。
• 公式：
  $$
  p_u = \frac{1}{2} \left( \frac{\sigma^2 T/n}{(\sigma \sqrt{3T/n})^2} + \frac{(r - \sigma^2/2)^2 (T/n)^2}{(\sigma \sqrt{3T/n})^2} + \frac{(r - \sigma^2/2)T/n}{\sigma \sqrt{3T/n}} \right)
  $$
  $$
  p_d = \frac{1}{2} \left( \frac{\sigma^2 T/n}{(\sigma \sqrt{3T/n})^2} + \frac{(r - \sigma^2/2)^2 (T/n)^2}{(\sigma \sqrt{3T/n})^2} - \frac{(r - \sigma^2/2)T/n}{\sigma \sqrt{3T/n}} \right)
  $$

隐含波动率树状模型

隐含波动率树状模型基于市场数据（如期权价格、远期价格、Arrow-Debreu价格等）来构建，能够体现波动率曲面，更贴近市场实际。

1. 隐含波动率二叉树模型

• 特点：体现波动率微笑，考虑波动率随时间和价格变化。
• 公式：
  $$
  F_{m,i} = p_{m,i} S_{m+1,i+1} + (1 - p_{m,i}) S_{m+1,i}
  $$
  $$
  \sigma_{m,i} = \sqrt{\frac{p_{m,i}(S_{m,i+1} - F_{m,i})^2 + (1 - p_{m,i})(S_{m,i} - F_{m,i})^2}{F_{m,i}^2 \Delta t}
  $$

2. 隐含波动率三叉树模型

• 特点：比二叉树模型更精细，能更好地描述波动率曲面。
• 公式：
  $$
  F_{m,i} = p_{m,i} S_{m+1,i+2} + (1 - p_{m,i} - q_{m,i}) S_{m+1,i+1} + q_{m,i} S_{m+1,i}
  $$
  $$
  \sigma_{m,i} = \sqrt{\frac{p_{m,i}(S_{m,i+2} - F_{m,i})^2 + (1 - p_{m,i} - q_{m,i})(S_{m,i+1} - F_{m,i})^2 + q_{m,i}(S_{m,i} - F_{m,i})^2}{F_{m,i}^2 \Delta t}
  $$

主要观点

• 树状模型是期权定价的离散方法，通过构建资产价格的树状结构并反向计算期权价格，最终得到初始时刻的权利金。
• CRR模型是最早的树状模型，但存在收敛波动大、不考虑偏度和峰度的缺点。
• LR模型和AMM模型在收敛性和计算效率上有较大改进，适用于实际应用。
• FLEX模型和EW模型通过调整参数，使得收敛曲线更光滑，更贴近实际。
• 三叉树模型比二叉树模型更灵活，能更精细地描述资产价格的变化。
• 隐含波动率模型基于市场信息，能够体现波动率曲面，更贴近市场实际，但计算复杂，可能出现概率不合法的情况。

关键信息

• 收敛性：随着计算步数增加，所有树状模型都会收敛于BS定价公式，但收敛速度和稳定性不同。
• 改进方向：通过调整上升/下降幅度和概率，使得模型更贴近实际资产分布，减少波动性。
• 应用领域：适用于欧式、美式期权，以及奇异关卡期权的定价。
• 风险提示：模型基于市场假设，不能完全准确反映现实，且使用历史数据可能与未来情况存在偏差。

图表说明

• 图1：LR模型与传统二叉树模型的定价对比，显示收敛更光滑。
• 图2：EW模型与传统模型的收敛性比较，显示收敛波动较大。
• 图3：FLEX模型与传统模型的收敛性比较，显示更光滑。
• 图4：AMM模型与传统三叉树模型的收敛性比较，显示更精细。
• 图5：六种模型的收敛性汇总图，显示不同模型的收敛速度和波动性。
• 图6：隐含波动率二叉树模型的期权定价。
• 图7：隐含波动率三叉树模型的期权定价。

作者信息

• 分析师：俞文冰（S0260512040002）
• 联系方式：
  • 邮箱：ywb2@gf.com.cn
  • 电话：21 021-60750622

研究小组成员

• 罗军（首席分析师，华南理工大学理学硕士）
• 俞文冰（首席分析师，CFA，上海财经大学统计学硕士）
• 安宁宁（资深分析师，暨南大学数量经济学硕士）
• 蓝昭钦（分析师，中山大学理学硕士）
• 史庆盛（分析师，华南理工大学金融工程硕士）
• 马普凡（分析师，英国拉夫堡大学金融数学专业）
• 张超（研究助理，中山大学理学硕士）

投资评级说明

• 买入：预期未来12个月内股价强于大盘10%以上。

• 持有：预期未来12个月内股价相对大盘变动介于-10%～+10%。

• 卖出：预期未来12个月内股价弱于大盘10%以上。

• 公司投资评级：

  • 买入：股价强于大盘15%以上。
  • 谨慎增持：股价强于大盘5%～15%。
  • 持有：股价相对大盘变动介于-5%～+5%。
  • 卖出：股价弱于大盘5%以上。

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